Equações de Navier-Stokes: explorando derivadas fracionárias da solução fraca

Abstract

Neste trabalho demonstramos a existência de solução fraca para as equações de Navier-Stokes através de duas abordagens distintas. Em um primeiro momento, utilizando o método de Faedo-Galerkin, provamos a existência de solução fraca para Navier-Stokes em dimensão menor ou igual a quatro, em domínios limitados. Neste método, criamos um problema aproximado em um espaço vetorial de dimensão finita, e mostramos a existência de solução para este problema. Então, utilizando a técnica de passagem ao limite, recuperamos o espaço original do problema e provamos a existência de solução fraca. A unicidade desta também é provada quando a dimensão do espaço é dois, um resultado clássico na teoria. Em um segundo momento, através de uma discretização no tempo, demonstramos a existência de solução para domínios ilimitados no R^n. Por fim, é provado que a solução em questão possui derivada fracionária de ordem 0<a<1/2, e apresentamos uma regularidade para tal derivada, alem de uma estimativa.

Abstract: In this work, we demonstrate the existence of a weak solution for the Navier-Stokes equations through two distinct approaches. Initially, using the Faedo-Galerkin method, we prove the existence of a weak solution for Navier-Stokes in dimensions less than or equal to four, in bounded domains. In this method, we formulate an approximate problem in a finite-dimensional vector space and establish the existence of a solution for this problem. Subsequently, employing the method of passing to the limit, we recover the original vector space and prove the existence of the weak solution to the original problem. The uniqueness of this solution is also demonstrated when the dimension of the space is two, a classical result in the theory. In a second step, through a time discretization, we demonstrate the existence of a solution for unbounded domains in R^n. Finally, it is proven that the aforementioned solution possesses a fractional derivative of order 0<a<1/2, and we provide regularity for such a derivative along with an estimate.