O que é a Álgebra de Operadores?

Abstract

A Álgebra de Operadores é uma área de pesquisa da matemática que explora C*-álgebras, um tipo de estrutura matemática. Na álgebra linear da graduação, estudamos espaços vetoriais de dimensão finita, onde conceitos como combinações lineares e bases são simples de se lidar. No entanto, muitos espaços vetoriais de dimensão infinita são de grande interesse, e para analisar suas propriedades, é necessária mais estrutura. A análise funcional aborda essa necessidade, estudando espaços os espaços de Hilbert e de Banach, que oferecem o aparato necessário para analisar questões como convergência de sequências. Espaços de Hilbert são espaços com um produto interno, que define uma norma, e que são completos em relação à norma, enquanto os espaços de Banach são espaços normados e completos em relação à norma. As álgebras de Banach são espaços de Banach munidos com uma "multiplicação entre vetores", e as C*-álgebras são álgebras de Banach equipadas com uma "involução". Apesar da estrutura de uma C*-álgebra ser abstrata, elas sempre podem ser representadas mais concretamente como uma álgebra de Banach de operadores de um espaço de Hilbert, um teorema tão importante que nomeia o campo de estudo. A Álgebra de Operadores possui diversas aplicações, por exemplo, dados no aprendizado de máquina podem ser representados por C*-álgebras por meio dos chamados módulos de Hilbert de reprodução.