Teoria de EDOs e Semigrupos Gradientes

Abstract

Este texto contém uma breve introdução à teoria qualitativa de EDOs, cujo propósito é realizar um estudo de equações diferenciais sem necessariamente ter que apelar ao uso de uma solução explícita. Tratamos da definição formal de uma EDO, do Teorema de Picard, que diz respeito à existência e unicidade de soluções para EDOs, e extensão de soluções.

Usamos disso para fazer uma conexão com a teoria de semigrupos, que também é apresentada no texto. Fazemos um estudo sobre as primeiras definições e teoremas que dizem respeito ao comportamento de semigrupos, dos conjuntos ômega-limites e suas propriedades, e também de atratores globais e condições que garantem a sua existência. Finalmente, analisamos a classe dos semigrupos gradientes juntamente com a dinâmica presente neles, além de verificarmos a existência de atratores neles.

Esta iniciação científica foi desenvolvida a partir de consultas bibliográficas a uma série de trabalhos. Para a seção sobre teoria de EDOs, foram estudados os capítulos 1-3 do livro "Equações Diferenciais: Uma abordagem de Sistemas Dinâmicos" de Marcelo Viana e José Espinar. Já para as seções sobre semigrupos e semigrupos gradientes, baseamos o roteiro de estudos na tese "Sistemas gradientes, decomposição de Morse e funções de Lyapunov sob perturbação" de Éder Rítis, complementando com o livro "Attractors Under Autonomous and Non-autonomous Perturbations", de Matheus Bortolan, Alexandre Carvalho, e José Langa, e o trabalho "Sistemas dinâmicos autônomos" de Alexandre Sousa.