Problema inverso da equação do calor com condição de contorno de Wentzell-Neumann

Abstract

Neste trabalho, é realizado um estudo sobre o problema inverso da equação do calor com condição de contorno de Wentzell-Neumann não local, a partir de uma condição de sobredeterminação integral modelada como uma função energia. O problema é abordado sob dois aspectos: teóricos/analíticos e numéricos/computacionais. Na primeira abordagem são estabelecidas condições suficientes para a existência e unicidade de solução para o problema direto e inverso, resultando em dois principais teoremas. Na segunda abordagem, introduz-se um modelo numérico para a aproximação do termo fonte, a partir da semidiscretização do modelo contínuo e o método do ponto médio aplicado ao problema de valor inicial originado. Para lidar com o problema mal condicionado de dados com ruídos, o método de regularização utilizado se ampara na decomposição em valores singulares generalizada de um par de matrizes adequadas. A regularização é feita por truncamento, sendo o parâmetro de truncamento determinado pelo princípio da discrepância. Por fim, são apresentados exemplos numéricos para ilustrar a eficiência do método numérico introduzido.

Abstract: In this work, a study is conducted on the inverse problem of the heat equation with nonlocal Wentzell-Neumann boundary condition, from an integral overdetermination condition modeled as an energy function. The problem is approached from two aspects: theoretical/analytical and numerical/computational. In the first approach, sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution to both direct and inverse problems are established, resulting in two main theorems. In the second approach, a numerical model is introduced for the approximation of the source term, based on the semidiscretization of the continuous model and the midpoint method applied to the resulting initial value problem. To address the ill -conditioned problem and noisy data, the regularization method employed relies on the generalized singular value decomposition of a proper matrix pair. Regularization is performed through truncation, with the truncation parameter determined by the discrepancy principle. Finally, numerical examples are presented to illustrate the efficiency of the introduced numerical method.