Álgebras e álgebras base em categorias monoidais trançadas

Abstract

Esta tese estuda estruturas monoidais de certas categorias a partir de suas álgebras. A estrutura monoidal da categoria ACA, sendo A uma álgebra em C, permite que demons- tremos que as categorias AC e CA sejam monoidalmente isomorfas. Também provamos que as categorias ACB e A\otiemes BC são isomorfas, apenas como categorias, baseando-nos no conceito do centro de Müger, o que assegura a comutatividade da álgebra A \otimes B. A partir desse último isomorfismo, provamos que a categoria A\otimesAC possui estrutura monoidal induzida pela estrutura monoidal de ACA. Finalmente, estudamos o conceito de álgebra base, que são álgebras comutativas em Z(C), e estabelecemos que o produto tensorial de duas álgebras base resulta em outra álgebra base. Além disso, discutimos as extensões dinâmicas e fornecemos uma prova, independente da prova existente na literatura, sobre a funtorialidade do tensor que garante que extensões dinâmicas sejam monoidais. Esta pesquisa contribui para uma compreensão mais profunda das relações entre as estruturas categóricas e suas aplicações na álgebra clássica.

Abstract: This thesis studies monoidal structures of certain categories based on their algebras. The monoidal structure of the category ACA, where A is an algebra in C, allows us to demonstrate that the categories AC and CA are monoidally isomorphic. We also prove that the categories ACB and A\otimesBC are isomorphic, just as categories, based on the concept of the center of Müger, which guarantees the commutativity of the algebra A \otimes B. From this last isomorphism, we show that the category A\otimesAC has a monoidal structure induced by the monoidal structure of ACA. Finally, we study the concept of base algebra, which are commutative algebras in Z(C), and establish that the tensor product of two base algebras results in another base algebra. Additionally, we discuss dynamic extensions and provide a proof, independent of existing proofs in the literature, regarding the functoriality of the tensor that ensures dynamic extensions are monoidal. This research contributes to a deeper understanding of the relationships between categorical structures and their applications in classical algebra.