Teoremas da esfera transversos para folheações riemannianas

Abstract

A Teoria de Folheações, iniciada por H. Poincaré e I. Bendixson no início do século passado no estudo das equações diferenciais ordinárias no plano, foi posteriormente expandida e generalizada. Dentre esses avanços, vem a introdução das folheações riemannianas por B. Reinhart. Uma folheação riemanniana é, em poucas palavras, uma folheação cujas folhas são equidistantes. Há uma teoria estrutural para folheações riemannianas desenvolvida por P. Molino, que busca entender uma folheação através de uma folheação mais simples, mas ainda intimamente relacionada com a original. Dentre outras propriedades, ela permite a definição de um feixe localmente constante que, informalmente, associa a cada aberto uma coleção de campos vetoriais transversos que descrevem infinitesimalmente os fechos das folhas. Focaremos nossa atenção nas chamadas folheações de Killing, aquelas para as quais esse feixe é globalmente constante. Em particular estaremos preocupados com estudar a geometria transversa dessa classe importante de folheações. O estudo da geometria transversa de uma folheação corresponde, de certa forma, a fazer geometria em seu espaço de folhas, que frequentemente é singular, podendo ser não-Hausdorff, ou seja, podemos compreender uma folheação como uma dessingularização de seu espaço de folhas. Neste trabalho nós demonstramos duas generalizações transversas, para folheações de Killing, de teoremas clássicos da Geometria Diferencial envolvendo a rigidez da esfera: o Teorema do diâmetro da esfera de Grove-Shiohama e o Teorema da esfera quarto-pinçada de M. Berger e W. Klingenberg. Obtemos, mais precisamente, que se uma folheação de Killing de uma variedade compacta tem curvatura seccional maior que 1 e diâmetro maior que p/2, então o espaço de folhas da folheação fechada associada é a suspensão de um espaço de Alexandrov compacto. Também obtemos que uma folheação de Killing com curvatura seccional transversa quarto-pinçada e com codimensão maior ou igual a 3 de uma variedade compacta desenvolve-se ao recobrimento universal para uma folheação simples, cujo espaço das folhas é uma esfera. Ambos os resultados são obtidos deformando-se a folheação inicial em uma folheação fechada de maneira a preservar as propriedades geométricas transversas relevantes, o que nos permite então aplicar resultados da geometria riemanniana de orbifolds e da geometria métrica.

Abstract: The theory of foliations, introduced by H. Poincaré and I. Bendixson at the turn of the last century in their study of ordinary differential equations in the plane, was later expanded and generalized. Among these advancements, there is the development of the Riemannian foliations by B. Reinhart. A Riemannian foliation is, briefly speaking, a foliation whose leaves are equidistant. There is a structural theory for Riemannian foliations due to P. Molino, that aims to understand a foliation via constructing a simpler one, that's still intimately connected to the original one. Among other properties, it allows the definition of a locally constant sheaf that, informally speaking, assigns to each open set a collection of transverse vector fields that describe infinitesimally the closures of the leaves. We'll focus on the so-called Killing foliations, those for which the aforementioned sheaf is globally constant. In particular, we'll devote our attention to studying the transverse geometry of this important class of foliations. The study of the transverse geometry of a foliation corresponds, in a way, to the differential geometry of its leaf space, which in turn is frequently quite singular, sometimes being non-Hausdorff. We can therefore understand a foliation as a desingularization of its leaf space. We show two transverse analogs, for Killing foliations, of classical differential geometry theorems involving sphere rigidity: the Diameter Sphere Theorem of Grove and Shiohama and the Quarter-pinched Sphere Theorem of Berger and Klingenberg. We obtain, more precisely, that if a Killing foliation of a compact manifold has sectional curvature greater than 1 and a diameter greater than p/2, then the leaf space of the associated closed foliation is the suspension of a compact Alexandrov space. We also show that a quarter-pinched Killing foliation with codimension greater than or equal to 3 of a compact manifold is developable. These results are obtained by deforming the foliation into a closed one in a manner that preserves transverse geometric properties, which allows us to apply results from the Riemannian geometry of orbifolds and metric geometry.