A propriedade produto para a característica de Euler de orbifolds

Abstract

Os orbifolds têm despertado crescente interesse por se apresentarem como uma generalização natural das variedades suaves, permitindo a presença de singularidades associadas a pontos fixos de ações de grupos. Neste contexto, a característica de Euler para orbifolds surge como uma extensão do invariante clássico, incorporando a contribuição das singularidades em sua definição e, consequentemente, assumindo valores racionais. O presente trabalho tem como objetivo central demonstrar a propriedade produto da característica de Euler para orbifolds, estabelecendo que, para orbifolds compactos O e P, verifica-se a relação ?orb(O × P) = ?orb(O) · ?orb(P). Vale ressaltar que embora este resultado seja provavelmente conhecido pelos especialistas na área, o mesmo não foi previamente encontrado na literatura disponível. Para sustentar o teorema principal, duas abordagens complementares são exploradas. A primeira, de natureza topológica, fundamenta-se na estratificação dos orbifolds e aplica a propriedade produto clássica aos estratos suaves. A segunda, com enfoque geométrico, recorre ao teorema de Gauss?Bonnet?Chern para orbifolds Riemannianos, analisando as formas de curvatura e a forma de Euler, em combinação com o teorema de Fubini. Além da demonstração do resultado central, este estudo apresenta contribuições adicionais, envolvendo a estrutura de orbifold em espaços das órbitas de variedades paracompactas sob ações de grupos de Lie, a construção explícita do recobrimento duplo orientado e o estudo detalhado do fibrado ortonormal de orbifolds. Tais avanços buscam preencher lacunas existentes na literatura, além de oferecerem uma introdução acessível e sistemática ao tema.

Abstract: Orbifolds have garnered increasing interest as a natural generalization of smooth manifolds, allowing for the presence of singularities associated with fixed points of group actions. In this context, the orbifold Euler characteristic emerges as an extension of the classical invariant, incorporating the contribution of singularities in its definition and consequently taking rational values. This work primarily aims to demonstrate the product property of the orbifold Euler characteristic, establishing that for compact orbifolds O and P, the relation ?orb(O × P) = ?orb(O) · ?orb(P) holds. Although this result is likely known to experts in the field, it has not been previously documented in the available literature. To substantiate the main theorem, two complementary approaches are explored. The first, topological in nature, relies on the stratification of orbifolds and applies the classical product property to the smooth strata. The second, geometric in focus, employs the Gauss?Bonnet?Chern theorem for Riemannian orbifolds, analyzing curvature forms and the Euler form in conjunction with Fubini?s theorem. Beyond the proof of the central result, this study provides additional contributions, including the structure of orbifolds in orbit spaces of paracompact manifolds under Lie group actions, the explicit construction of the oriented double cover, and a detailed study of the orthonormal frame bundle of orbifolds. These advances aim to address gaps in the literature while offering an accessible and systematic introduction to the topic.