Geodesic connectedness on Lorentzian manifolds via calculus of variations

Abstract

Este trabalho aborda o problema de conectar dois pontos por uma geodésica em uma classe específica de variedades Lorentzianas. Na primeira parte da dissertação (Capítulos 1 e 2), são apresentados os fundamentos da teoria básica da conectividade geodésica em variedades Riemannianas. A segunda parte (Capítulos 3 e 4) explora as técnicas que permitem aplicar os resultados de existência e multiplicidade estabelecidos nos capítulos anteriores. Em particular, no caso das variedades Lorentzianas estacionárias, a existência e multiplicidade de geodésicas são demonstradas por meio de um princípio variacional. No último capítulo (Capítulo 5), fazemos uma breve incursão no estudo das variedades Lorentzianas do tipo splitting ortogonal, uma classe mais ampla do que as variedades estacionárias. Nesse contexto, investigamos o problema de conectar duas subvariedades por meio das chamadas geodésicas normais.

Abstract: This work addresses the problem of connecting two points by a geodesic in a specific class of Lorentzian manifolds. The first part of the dissertation (Chapters 1 and 2) presents the fundamental theory of geodesic connectedness on Riemannian manifolds. The second part (Chapters 3 and 4) explores the techniques that allow the application of the existence and multiplicity results established in the previous chapters. In particular, in the case of stationary Lorentzian manifolds, the existence and multiplicity of geodesics are demonstrated through a variational principle. In the final chapter (Chapter 5), we undertake a brief exploration of orthogonal splitting Lorentzian manifolds, a broader class than stationary manifolds. Within this framework, we investigate the problem of connecting two submanifolds by means of the so-called normal geodesics. Keywords: Geodesic connectedness. Lorentzian geometry. Calculus of variations.