Uma nova abordagem para equações diferenciais de ordem fracionária espaço dependentes

Abstract

O foco principal desta tese é a análise de equações diferenciais abstratas da forma cD^a(x)_t u(t, x) = Au(t, x) + f(t, u(t, x)), onde A é um operador linear limitado e a(x) é uma ordem que depende da variável espacial. A principal contribuição original deste trabalho é o desenvolvimento de uma Teoria de Ordem Variável, que permite o estudo de equações diferenciais fracionárias cuja ordem varia com a posição espacial. Além disso, propõe-se uma formulação teórica rigorosa que garante a existência e unicidade de soluções para esses problemas de Cauchy no contexto de espaços de Banach. A tese se encerra com sugestões para pesquisas futuras, com o objetivo de aprofundar a compreensão da dinâmica de sistemas complexos por meio de modelos fracionários.

Abstract: The main focus of this thesis is the analysis of abstract differential equations of the form cD^a(x)_t u(t, x) = Au(t, x) + f(t, u(t, x)), where A is a bounded linear operator and a(x) is a spatially dependent order. The primary original contribution of this work is the development of a Variable Order Theory, which enables the study of fractional differential equations whose order varies with spatial position. In addition, a rigorous theoretical framework is proposed to guarantee the existence and uniqueness of solutions to these Cauchy problems in the setting of Banach spaces. The thesis concludes with suggestions for future research, aiming to further explore the dynamics of complex systems via fractional models.