Um estudo sobre módulos de Hilbert

Abstract

Neste trabalho é desenvolvida a teoria dos módulos de Hilbert sobre C*-álgebras, uma estrutura que generaliza o conceito de espaço de Hilbert e serve como ferramenta fundamental para o estudo da equivalência de Morita forte. A metodologia adotada é a construção axiomática da teoria, partindo da definição de um produto interno com valores em uma C*-álgebra, a partir do qual são demonstradas propriedades essenciais como a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a completude da norma induzida. São investigadas as C*-álgebras de operadores adjuntáveis e de operadores "compactos", bem como as construções de produtos tensoriais exterior e interior. Como resultado principal, é apresentado e demonstrado o Teorema da Estabilização de Kasparov, que estabelece que todo módulo de Hilbert enumeravelmente gerado torna-se isomorfo ao módulo de Hilbert padrão após uma estabilização por soma direta. O estudo conclui consolidando o arcabouço matemático rigoroso necessário para futuras abordagens sobre a classificação e equivalência de C*-álgebras.