Strong gradings and correspondences between graph, ultragraph and subshift algebras

Abstract

Esta dissertação investiga álgebras geradas a partir de três classes de estruturas: grafos direcionados, ultragrafos e subshifts, destacando que essas diferentes construções podem ser relacionadas por meio de isomorfismos graduados. Um tema central é o estudo de gradações nessas álgebras. Analisamos graduações por Z e critérios para graduações fortemente Z-graduadas, e também consideramos gradações induzidas por grupos livres: no contexto de ultragrafos, a graduação é gerada pelas arestas, enquanto no contexto de subshifts ela é gerada pelos símbolos do alfabeto. Nossos principais resultados identificam álgebras de subshifts com álgebras de caminhos rotulados de Leavitt por meio de isomorfismos graduados. Além disso, apresentamos álgebras de subshifts como partial skew group rings decorrentes de ações parciais de grupos livres. Por fim, esclarecemos como as álgebras de grafos e de ultragrafos se imergem e interagem com essas álgebras de subshifts.

Abstract: This dissertation investigates algebras generated from three classes of structures: directed graphs, ultragraphs, and subshifts, and emphasizes that these different constructions can be related through graded isomorphisms. A central theme is the study of gradings on these algebras. We analyze Z-gradings and criteria for strong Z-gradings, and we also consider gradings induced by free groups: in the ultragraph setting, the grading is generated by edges, while in the subshift setting it is generated by symbols of the alphabet. Our main results identify subshift algebras with Leavitt labelled path algebras via graded isomorphisms. Moreover, we present subshift algebras as partial skew group rings arising from partial actions of free groups. Finally, we clarify how graph and ultragraph algebras embed into, and interact with, these subshift algebras.