O método multigrid de correções aditivas para a solução numérica acoplada das equações de Navier-Stokes com malhas não-estruturadas

Abstract

Este trabalho busca a criação de um solver robusto para a solução de problemas de escoamento e transferência de calor. Afim de alcançar este objetivo o método Multigrid de Correções Aditivas (ACM) é estudado e implementado e, novas feições são sugeridas e testadas. De forma geral, o método ACM é usado para melhorar a taxa de convergência de métodos iterativos usando várias malhas e reduzindo todos os modos de freqüência de erro. Neste método a discretização é feita somente na malha fina, reduzindo assim, a complexidade e o custo computacional, bem como eliminando a possibilidade de inconsistência entre malhas. Além disso, o método ACM é bastante flexível, podendo ser aplicado a qualquer tipo de malha, estruturada ou não. Também não apresenta dificuldades no tratamento de problemas com coeficientes descontínuos, nem anisotrópicos, pois possibilita o uso da aglomeração adaptativa das células baseada nos coeficientes. A aglomeração adaptativa é um dos pontos mais importantes do trabalho, pois a forma como os volumes de controle são agrupados é um fator essencial para um melhor desempenho da técnica multigrid. Para exemplificar a robustez do método ACM, este foi testado em alguns problemas de condução de calor e de escoamento de fluidos cujas equações foram discretizadas usando o método de Volumes Finitos baseado em Elementos (EbFVM) em malhas não-estruturadas de quadriláteros. O EbFVM foi escolhido por unir as características desejadas dos métodos de Volumes Finitos, a discretização das equações através de balanços nos volumes de controle e conservação das propriedades no volume elementar, com as características desejadas dos métodos de Elementos Finitos, que são a utilização de um sistema de coordenadas locais e a independência entre os elementos. Outra questão a ser considerada é com relação ao procedimento para a solução do conjunto de equações. Optou-se pela utilização da forma acoplada, na qual todas as variáveis do problema aparecem implicitamente em todas as equações, tornando a solução mais estável e robusta em termos de convergência. Assim, o método ACM com aglomeração adaptativa é aplicado a um sistema de equações composto pelas equações da conservação da quantidade de movimento linear nas direções x e y e pela equação de conservação da massa. Este sistema é resolvido de forma acoplada, sendo as equações discretizadas pelo método EbFVM de forma a permitir a utilização de malhas não-estruturadas. The Additive Correction Multigrid Method (ACM) is analysed and new features regarding the agglomeration scheme are implemented. In general, the ACM method is used to improve the convergence rate of iterative solvers, as in the classical multigrid methods. The advantage of this method is that discretization is made only in the fine grid, reducing the complexity and the computational costs, as well as eliminating the possibility of inconsistency between grids, when values of the functions are interpolated. Moreover, ACM method is flexible and can be applied to any type of grid, structured or not. Also it does not present difficulties in the treatment of problems with discontinuous or anisotropic coefficients, since it allows the use of coefficient-based adaptive agglomeration of the cells. The analysis of the adaptive agglomeration procedures is one of the important parts of this work. The way control volumes are grouped is an essential factor to achieve high performance of multigrid techniques. To show its robustness, the ACM method was tested in several heat conduction and fluid flow problems for several agglomeration schemes. The equations are discretized using the Element-based Finite Volume Method (EbFVM) with unstructured quadrilaterals grids. The EbFVM puts togheter the good characteristics of the Finite Volume method, that is the discretazion of the equations using balances at control volumes preserving conservation at control volume level, with the good geometric characteristics of the Finite Element method, which uses a local coordinates system and allows the development of element-by-element algorithms. Another key question considered in this work was the coupled solution of the equations set in conjunction with the ACM method and several agglomeration schemes. The ACM method with adaptive agglomeration is applied to solve 2D diffusion and advection problems in 2D situations. The different agglomeration schemes are tested and compared, showing that the coefficient-based agglomeration is essential.