Método de Galerkin descontínuo com penalização de fluxos para problemas elípticos

Abstract

Os métodos de Galerkin descontínuo desenvolvidos recentemente para equações elípticas de segunda ordem envolvem a idéia de penalizar o salto da solução nas interfaces dos elementos. Esta idéia permite impor a suavidade da solução numérica do problema de maneira fraca e ao mesmo tempo estabilizar a forma bilinear garantindo sua coercividade e consequentemente, a estabilidade da solução numérica. Entretanto, a introdução do termo de penalização que envolve o salto da solução torna o método não conservativo, o que prejudica possíveis aplicações do método, na dinâmica de fluídos computacional, por exemplo. Este trabalho estuda inovadoras técnicas de estabilização de fluxos da solução numérica que foram introduzidas, com o objetivo de resolver o problema acima exposto, por A. Romkes, J. Oden e S. Prudhomme (2003) para problemas elípticos e por E. Burman e A. Ern (2005) para problemas com advecção predominante. Com base em recentes resultados de aproximação polinomial para funções em espaços de Sobolev particionado e usando a estabilização de fluxos, são apresentadas estimativas a priori do erro para os métodos, que são ótimas em h (parâmetro de discretização da malha) e subótimas em p (ordem de aproximação polinomial). Uma série de experiências numéricas são realizadas para comprovar as taxas de convergência teóricas e para demonstrar possíveis aplicações à problemas práticos.