Lanc-FP: um algoritmo para problemas discretos mal-postos de grande porte

Abstract

Problemas discretos mal-postos precisam ser regularizados para serem resolvidos estavelmente. Dentre vários métodos de regularização existentes na literatura, um dos mais utilizados é devido a Tikhonov e a sua eficiência depende da escolha do parâmetro de regularização. A curva-L de Hansen, o princípio da discrepância de Morozov e a Validação Cruzada Generalizada de Golub, Heath e Wahba são métodos que buscam determinar um bom parâmetro de regularização. Recentemente um algoritmo de ponto-fixo por Bazán e em seguida uma melhoria por Bazán e Francisco tem mostrado excelentes resultados, tanto de cunho teórico como prático. Problemas de grande porte, de modo geral, são resolvidos por métodos iterativos. O algoritmo LSQR de Paige e Saunders é baseado em projeções em subespaços de Krylov e, assim como muitos métodos de projeção, captura boa parte das informações relevantes do problema nas primeiras iterações. Caso as iterações não sejam interrompidas, as novas soluções iteradas são dominadas pelo ruído nos dados e como consequência existe um deterioramento das iteradas. Para contornar a dificuldade inerente a esta abordagem, um critério de parada faz-se necessário. Apresentamos um algoritmo para problemas mal-postos discretos de grande porte chamado de Lanc-FP, o qual resulta da combinação do algoritmo de ponto-fixo com o método LSQR. A ideia fundamental é estimar o parâmetro de Tikhonov no problema projetado construído por LSQR usando o algoritmo do ponto-fixo, e então prosseguir com as iteradas até as mesmas estacionarem. Desenvolvemos a parte teórica do algoritmo e entre outro resultados, apresentamos a demonstração de que as iteradas realmente estabilizam, o qual é o resultado mais importante deste trabalho e único para os algoritmos na área. Por fim, os resultados teóricos são avaliados na obtenção de soluções numéricas para equações integrais e restauração de imagens.