Twisted crossed products and twisted Steinberg algebras

Abstract

Algebras de Steinberg são certas algebras de convolução de grupoides que foram descobertas independentemente tanto por Benjamin Steinberg, quanto por Lisa Orloff Clark, Cynthia Farthing, Aidan Sims e Mark Tomforde. Os primeiros artigos publicados sobre estas álgebras foram, respectivamente, Steinberg [2010] e Clark et al. [2014]. Algebras de Steinberg são frequentemente referidas na literatura como a versão ?puramente algébrica? das C*-álgebras de grupoides, cujo estudo foi iniciado por Jean Renault no seu livro Renault [1980]. Motivado por tal comparação é possível, assim como no contexto de C*-álgebras de grupoides, estudar álgebras de Steinberg torcidas. Um exemplo da aplicação destas álgebras torcidas está no artigo Armstrong et al. [2023] onde foi mostrado que, iniciando com uma álgebra A munida de algumas informações extras, é possível encontrar um grupoide e uma torção de tal maneira que a álgebra de Steinberg torcida associada a tal grupoide seja isomorfa à A. Visto que tais álgebras torcidas são objetos interessantes de serem analisados, podemos tentar encontrar a versão torcida de resultados ja conhecidos de álgebra de Steinberg. Motivado por Beuter and Gonçalves[2018] onde, dentre outros resultados, foi mostrado que, para certas ações parciais topologicas ? de um grupo discreto G num espaço localmente compacto, Hausdorff e totalmente desconexo X, e possível encontrar uma ação parcial algébrica a na álgebra LC(X,K) de funções localmente constantes e de suporte compacto de maneira que a álgebra de Steinberg do grupoide de transformação de ? é isomorfo ao produto cruzado de a. Neste trabalho nos primeiramente mostramos o ?oposto? de tal resultado, isto é, para certas ações parciais algébricas em LC(X,K), encontramos certas ações parciais topologicas em X tal que o mesmo isomorfismo e verdadeiro. Depois depois mostramos a versão torcida de tal resultado.

Abstract: Steinberg algebras are certain groupoid convolution algebras that were discovered and published independently in the papers Steinberg [2010] and Clark et al. [2014]. These algebras are usually regarded in the literature as ?purely algebraic? groupoid C*-algebras, whose study was initiated by Jean Renault in his book Renault [1980]. Motivated by such comparison one can, just like in the C*-algebraic setting, study twisted Steinberg algebras. One example of the use of twisted Steinberg algebras is in the paper Armstrong et al. [2023], where it was shown that, beginning with an algebra A together with some extra structure, it is possible to find a groupoid and a twist in such a way that the twisted Steinberg algebra associated to such groupoid is isomorphic to A. Given that these twisted algebras are interesting objects of study, we can try to find the twisted version of already known Steinberg algebra results. Motivated by Beuter and Gonçalves [2018] where it was shown that, for certain par- tial topological actions ? from a discrete group G on a locally compact, Hausdorff and totally disconnected space X, one can find a partial algebraic action a on the algebra LC(X,K) of locally constant, compactly supported functions, such that the Steinberg algebra of the transformation groupoid of ? is isomorphic to the crossed product of aIn this work we first find the ?opposite? of such result, that is, for certain partial algebraic actions on LC(X,K) we find a topological partial action on X such that the same isomorphism is true, and secondly we find a twisted version of this result.