Técnicas de análise convexa aplicadas a problemas inversos não lineares

Abstract

Diversos fenômenos físicos e problemas do cotidiano são interpretados como problemas inversos. Os problemas inversos mais complicados geralmente são classificados como não lineares e mal postos. Para a resolução destes, é necessária a implementação de algum método de regularização que calcule uma solução numérica apropriada. Este trabalho estuda o Método das Projeções Relaxadas aplicado a problemas inversos não lineares e localmente mal postos entre espaços de Banach. O método é considerado uma variação do método de Levenberg-Marquardt cujo termo de penalização é dado pela distância de Bregman induzida por um funcional uniformemente convexo. Técnicas de análise convexa são usadas em sua definição formal, assim como em sua análise de convergência. O estuda também aborda a implementação computacional do método no problema da Tomografia por Impedância Elétrica, segundo o Modelo Completo de Eletrodos. Testes numéricos desta abordagem comprovam os resultados teóricos do método.

Abstract: Various physical phenomena and real-world problems can be interpreted as inverse problems. The most challenging inverse problems are typically classified as nonlinear and locally ill-posed. To solve such problems, it is necessary to implement a regularization method capable of computing an appropriate numerical solution. This work investigates the Range-Relaxed Method applied to nonlinear and locally ill-posed inverse problems in Banach spaces. The method is considered a variation of the Levenberg-Marquardt method, where the penalization term is given by the Bregman distance induced by a uniformly convex functional. Tools from convex analysis are employed both in the formal definition and in the convergence analysis of the method. The study also addresses the computational implementation of the method in the Electrical Impedance Tomography problem, based on the Complete Electrode Model. Numerical experiments validate the theoretical results of the proposed approach. \vspace{2pt} \noindent \textbf{Keywords}: Inverse problem, Nonlinear problem, Locally ill-posed problem, Regularization method, Range-Relaxed Method, Convex analysis, Bregman distance, Numerical experiments, Electrical Impedance Tomography.